石河子大學(xué)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試大綱

    （科目：數(shù)學(xué)綜合）

    數(shù)學(xué)綜合包括《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》兩門課程，本考試大綱適用于石河子大學(xué)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。

    《數(shù)學(xué)分析》是一門具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)、積分學(xué)、級數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)等部分組成。要求考生能準(zhǔn)確理解基本概念，熟練掌握各種運算和基本的計算、論證技巧，具有綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。

    《高等代數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，主要內(nèi)容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

    一、考試基本要求

    要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)中的基本概念和基本理論，掌握基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

    二、考試方法和考試時間

    數(shù)學(xué)綜合考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為100分，考試時間為180分鐘。

    三、考試內(nèi)容和考試要求

    《數(shù)學(xué)分析》部分：

    考試內(nèi)容

    一、分析基礎(chǔ)

    1實數(shù)概念、確界

    2函數(shù)概念

    3數(shù)列極限與函數(shù)極限

    4無窮大與無窮小

    5實數(shù)的完備性、上極限與下極限

    6連續(xù)概念及基本性質(zhì)，一致連續(xù)性

    7收斂原理

    二、一元微分學(xué)

    1導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義

    2求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則

    3高階導(dǎo)數(shù)

    4微分

    5微分中值定理及其應(yīng)用

    6L’Hospital法則

    7Taylor公式

    8用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

    三、一元積分學(xué)

    1不定積分法與可積函數(shù)類

    2定積分的概念、性質(zhì)與計算

    3定積分的應(yīng)用

    4廣義積分

    四、級數(shù)

    1數(shù)項級數(shù)的斂散性判別與性質(zhì)

    2函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)與一致收斂性

    3冪級數(shù)

    五、多元微分學(xué)

    1歐氏空間

    2多元函數(shù)的極限

    3多元連續(xù)函數(shù)

    4偏導(dǎo)數(shù)與微分

    5隱函數(shù)定理

    6多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用

    7多元函數(shù)的極值

    六、多元積分學(xué)

    1重積分的概念與性質(zhì)

    2重積分的計算

    3二重、三重積分

    4含參變量的正常積分

    5曲線積分與Green公式

    6曲面積分

    7Gauss公式和Stokes公式

    考試要求

    一、分析基礎(chǔ)

    1了解實數(shù)公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對值不等式及平均值不等式。

    2熟練掌握函數(shù)概念（如定義域、值域、反函數(shù)等）。

    3掌握序列極限的意義、性質(zhì)（特別，單調(diào)序列的極限存在性定理）和運算法則，熟練掌握求序列極限的方法。

    4掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運算法則，熟練掌握求函數(shù)極限的方法，了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。

    5熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法（如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等），掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧。

    6理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮大（小）量的意義。

    7掌握實數(shù)集完備性的基本定理，了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。

    8熟練掌握函數(shù)在一點及在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。

    9掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限存在的充分必要條件。

    二、一元微分學(xué)

    1掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，會用定義求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)。

    2會用求導(dǎo)公式和法則熟練計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

    3理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能利用微分作近似計算。

    4理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點存在性及不等式證明等問題。

    5熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。

    6熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。

    三、一元積分學(xué)

    1理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，解應(yīng)用他們熟練計算不復(fù)雜的不定積分。

    2了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。

    3理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。

    4熟練應(yīng)用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積。

    5理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。

    四、級數(shù)

    1掌握數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念、級數(shù)收斂的充分必要條件（Cauchy準(zhǔn)則），收斂和絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)以及級數(shù)加法和乘法的運算法則。

    2熟練掌握正項級數(shù)斂散判別法（比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項級數(shù)斂散判別方法。能計算一些特殊數(shù)項級數(shù)的和。

    3理解函數(shù)項級數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列一致收斂以及函數(shù)項級數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法則（Cauchy一致收斂準(zhǔn)則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法）及一致收斂級數(shù)的性質(zhì)。

    4理解冪級數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數(shù)的基本性質(zhì)和運算法則，熟記五個基本冪級數(shù)展開式（）。能求出給定函數(shù)在指定點的冪級數(shù)展開式。

    五、多元微分學(xué)

    1理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開集與閉集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，熟悉完備性定理及緊性定理。

    2理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。

    3理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。

    4理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

    5理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。

    6理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。

    7能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。

    8理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實際問題。

    六、多元積分學(xué)

    1理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。

    2掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法（特別，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換），能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。

    3了解二重、三重廣義積分的意義（無界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形），掌握它們的基本判斂法和基本計算方法。

    4了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號下取極限、求導(dǎo)和求積分）。

    5理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲線積分。

    6理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計算曲線積分。

    7理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲面積分。

    8理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件及其對曲線積分計算的應(yīng)用。

    主要參考書目

    數(shù)學(xué)分析（上下冊）（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等教育出版社

    《高等代數(shù)》部分

    考試內(nèi)容與要求

    一、基本概念

    1掌握集合概念、運算及證明集合相等的一般方法。

    2理解并掌握映射、映射的合成、滿射、單射和可逆映射的概念與判斷。

    3理解和掌握整數(shù)的整除概念及其基本性質(zhì)；了解最大公因數(shù)性質(zhì)、求法；理解互素、素數(shù)的簡單性質(zhì)。

    4理解數(shù)環(huán)、數(shù)域概念；了解、熟悉常用的數(shù)環(huán)、數(shù)域。

    二、一元多項式理論

    1掌握一元多項式的概念、運算和基本運算性質(zhì)。

    2理解并掌握一元多項式整除的概念及其基本性質(zhì)；理解并熟練運用帶余式除法。

    3掌握最大公因式、互素概念；熟練掌握輾轉(zhuǎn)相除法；會應(yīng)用互素的性質(zhì)證明整除問題。

    4理解并掌握不可約多項式的概念及性質(zhì)；理解唯一因式分解定理。

    5理解并掌握重因式概念；掌握判斷一元多項式有、無重因式的充要條件。

    6掌握多項式函數(shù)、多項式的根的概念；熟練運用余式定理和綜合除法解決相關(guān)問題。

    7理解代數(shù)基本定理；熟悉實系數(shù)多項式的特點、性質(zhì)；掌握求整系數(shù)多項式的有理根的方法。

    三、行列式

    1理解n階行列式概念；熟練掌握行列式的基本運算性質(zhì)。

    2通過了解余子式及代數(shù)余子式的概念和重要性質(zhì)，理解并熟練掌握行列式的依行依列展開規(guī)則。

    3掌握并能熟練應(yīng)用克拉默法則。

    四、線性方程組

    1理解一般線性方程組的求解方法---消元法，并且熟練掌握消元法的具體實施過程。

    2熟練掌握計算矩陣秩的初等變換法和線性方程組可解的判別法。

    3掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件。

    五、矩陣

    1熟練掌握矩陣的加法、乘法以及數(shù)與矩陣的乘法運算法則及其基本性質(zhì)。

    2熟識初等矩陣與初等變換的關(guān)系；掌握可逆矩陣的概念與矩陣可逆的判別，熟練掌握求逆矩陣的行初等變換方法和公式法。

    3掌握分塊矩陣的概念及分塊矩陣的運算。

    六、向量空間

    1理解向量空間概念，熟悉線性代數(shù)中若干常用的幾個向量空間。

    2理解并掌握子空間的概念和判別方法，熟悉子空間的“交”與“和”運算及產(chǎn)生新子空間的途徑。

    3理解和掌握線性組合、線性相（無）關(guān)、向量組的等價以及極大無關(guān)組等概念；能夠熟練地判別或證明給定向量組是否線性相關(guān)；理解替換定理內(nèi)容及證明過程。

    4掌握向量空間基與維數(shù)的概念及其求法，充分理解基在向量空間理論中所起到的重要作用；進一步理解和掌握子空間的交與和的概念及維數(shù)公式；理解和掌握子空間的直和的概念及判別方法。

    5理解向量空間中坐標(biāo)的概念及其意義，掌握坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣的概念及性質(zhì)。

    6理解向量空間同構(gòu)的概念、性質(zhì)及重要意義。

    7掌握矩陣的秩和它的行空間、列空間維數(shù)之間的關(guān)系；熟練地求出齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及非齊次線性方程式組的任意解。

    七、線性變換

    1理解掌握線性變換的定義，判斷給定的法則是否是一個線性變換；正確理解線性變換的像與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能具體求出給定線性變換的像與核。

    2理解和掌握線性變換的加法、數(shù)乘及乘法運算規(guī)則；了解向量空間L(V)。

    3理解L(V)與元素間存在的同構(gòu)映射；了解線性變換問題與矩陣問題相互轉(zhuǎn)化的思想和方法。

    4掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間方法。

    5理解有限維向量空間上線性變換的本征值、本征向量的求解思路并熟練掌握其求解過程。

    6理解掌握線性變換和矩陣可對角化的判斷與計算。

    八、歐氏空間

    1理解并掌握內(nèi)積、歐氏空間和相關(guān)度量概念。

    2理解并掌握規(guī)范正交基概念和施密特正交化方法。

    3理解并掌握正交變換與正交矩陣的概念、性質(zhì)及其關(guān)系。

    4理解并掌握對稱變換的概念及其與實對稱矩陣的關(guān)系；掌握對稱變換和實對稱矩陣的對角化方法。

    九、二次型

    1掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩、標(biāo)準(zhǔn)形的概念，會用非奇異線性變換把實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。

    2理解并掌握實二次型的慣性定律及復(fù)、實二次型的合同分類。

    3理解并掌握正定二次型概念，掌握判定實二次型為正定二次型的條件和方法。

    4掌握將實二次型通過變量的正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形方法。

    主要參考書目

    [1]張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1997.

    [2]北京大學(xué)編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.

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