2022年北京科技大學(xué)610單考數(shù)學(xué)碩士研究生考研大綱 正文

一、一元微積分學(xué)
1、函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。
函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
考試要求
（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系；
（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；
（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；
（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念；
（5）理解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念，以及函數(shù)極限存在與左右極限之間的關(guān)系；
（6）了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；
（7）理解無(wú)窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無(wú)窮小量的比較方法，了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系；
（8）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)和右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；
（9）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
2、一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線與法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，微分形式不變性，微分中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值。
考試要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性和連續(xù)性之間的關(guān)系；
（2）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；
（3）了解微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式不變性，會(huì)求函數(shù)的微分；
（4）理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理，掌握這三個(gè)定理的應(yīng)用、了解并會(huì)用泰勒定理；
（5）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法；
（6）掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用；
（7）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線（含水平、鉛直和斜漸近線）；
（8）會(huì)描繪函數(shù)的圖形。
3、一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應(yīng)用。
考試要求
（1）理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念，掌握不定積分基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及其換元積分法和分部積分法；
（2）掌握定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式；
（3）了解廣義積分的概念，會(huì)計(jì)算廣義積分；
（4）會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積。
二、多元函數(shù)微積分學(xué)
1、多元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。
考試要求
（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；
（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；
（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式不變性；
（4）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法；
（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；
（6）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程；
（7）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
2、多元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲線積分的關(guān)系，格林公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯公式，曲線積分和曲面積分的應(yīng)用。
考試要求
（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理；
（2）掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會(huì)計(jì)算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))；
（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；
（4）掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法；
（5）掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件；
（6）了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分；
（7）會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求平面圖形的面積、立體體積、曲面面積、弧長(zhǎng)。
三、無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性與發(fā)散性的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)和P—級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。
考試要求
（1）理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；
（2）掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；
（3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法；
（4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；
（5）了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系；
（6）了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；
（7）理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；
（8）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.
（9）了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件；
（10）掌握的麥克勞林展開式，會(huì)用他們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)簡(jiǎn)接展開為冪級(jí)數(shù)。
四、常微分方程
考試內(nèi)容
常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，全微分方程，可用簡(jiǎn)單的變量代換求解某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
考試要求
（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念；
（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；
（3）會(huì)解齊次微分方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程；
（4）會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：
（5）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)；
（6）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程，會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；
（7）會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

北京科技大學(xué)

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