2021長沙理工大學高等代數(shù)研究生參考書目及考試大綱 正文

科目代碼：837 科目名稱：高等代數(shù)
一、考試要求
1、掌握一元多項式相關概念，帶余除法，能求兩個多項式的最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式的根在探討多項式的整除性與不可約性中的應用，復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式的根及艾森斯坦因判別法。
2、理解行列式的概念和基本性質(zhì)，掌握行列式展開定理及行列式的計算。
3、掌握向量組的線性相關與線性無關性、向量組的秩及矩陣的秩的概念，能進行相關的計算和證明，熟練掌握線性方程組有解的判別、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及線性方程組的解法及有關證明。
4、掌握矩陣的概念及矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩的性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，逆矩陣的求法，矩陣方程的求解，矩陣與分塊矩陣的初等變換及（廣義）初等矩陣在矩陣的行列式與秩的計算與證明中的應用。
5、理解二次型及其矩陣表示、標準形、規(guī)范形及矩陣合同的概念，掌握實二次型的標準形的求法、慣性定理、二次型（矩陣）正定的等價條件及其在相關計算和證明中的應用。
六、理解線性空間中關于維數(shù)、基與坐標、基變換與坐標變換、線性子空間、子空間的交與和及直和、線性空間的同構(gòu)的概念，掌握相關的計算和證明。
七、理解線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣、線性變換（矩陣）特征值與特征向量、線性變換（矩陣）的對角化、線性變換的值域與核、不變子空間、最小多項式的概念及有關性質(zhì)，掌握相關的計算和證明，掌握Hamlton-Cayley定理及其應用。
八、理解λ-矩陣、λ-矩陣在初等變換下的標準形、不變因子、行列式因子、初等因子、Jordan塊與Jordan標準形、伴侶陣與有理標準形的概念及有關性質(zhì)，掌握相關的計算和證明，掌握矩陣相似的條件，能求矩陣的若當標準形和矩陣的有理標準形。
九、理解歐氏空間、度量矩陣、標準正交基、正交變換、對稱變換、子空間正交及正交補的概念及有關性質(zhì)，掌握Schmit正交化標準正交基的方法，掌握實對稱矩陣的性質(zhì)、用正交變換化實二次型為標準形及實對稱矩陣的正交對角化的相關計算與證明。
二、考試內(nèi)容
1、一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數(shù)，復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式。
 2、行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式展開定理，行列式的計算。
3、向量的概念，向量組的線性相關與線性無關性，向量組的秩，矩陣的秩，線性方程組有解的判別，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，線性方程組的解法 。
4、矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換。
5、二次型及其矩陣表示，標準形及規(guī)范形，正定二次型。
6、線性空間的定義及簡單性質(zhì)，維數(shù)，基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和及直和，線性空間的同構(gòu)。
7、線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，最小多項式。
8、λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標準形，不變因子，行列式因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當標準形，矩陣的有理標準形。
9、歐氏空間定義與基本性質(zhì)，標準正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實對稱矩陣的標準形。
三、題型
試卷滿分為150分，其中：計算題占50%，證明題占50%。
四、參考教材
1．《高等代數(shù)》．北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室編．王萼芳，石生明修訂，高等教育出版社，2003，第三版。

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