2021福建師范大學(xué)高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

《高等代數(shù)》考試大綱
 
Ⅰ  考查目標(biāo)
 
高等代數(shù)課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課. 近年來，自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是由于電子計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用，使得代數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生不僅需要了解代數(shù)學(xué)的一些計(jì)算問題，還應(yīng)具備代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，以便融會(huì)貫通地運(yùn)用代數(shù)學(xué)的工具去解決理論上和實(shí)踐中遇到的各種問題.
本課程包括一元多項(xiàng)式理論，線性代數(shù)兩部分內(nèi)容，其中以線性代數(shù)為主，具有很強(qiáng)的抽象性與邏輯性. 本課程的考查注重學(xué)生科學(xué)的思維方式以及分析問題和解決問題的能力；同時(shí)滲透了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和思想. 本課程的考查，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)于
多項(xiàng)式理論的基本概念；
線性方程組的基本理論；
矩陣的基本運(yùn)算和技巧；
線性空間與歐幾里得空間的基本性質(zhì)；
線性變換的基本概念和方法
等內(nèi)容的掌握情況，從而為學(xué)生將來研究生階段的課程學(xué)習(xí)打下必要的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ).
 
Ⅱ　考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
 
本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為3小時(shí)；答題方式為閉卷、筆試；試卷題型結(jié)構(gòu)為：
1填空題約占30%；
2計(jì)算題約占40%；
3證明題約占30%，可以根據(jù)需要將證明題分為基本證明題和綜合證明題兩大部分.
 
Ⅲ　考試范圍
 
考試內(nèi)容   
 
第一部分 多項(xiàng)式
一 多項(xiàng)式代數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)
二 最大公因式和互質(zhì)（與數(shù)域擴(kuò)充無關(guān)的性質(zhì)）
三 因式分解（與數(shù)域擴(kuò)充有關(guān)的性質(zhì)）及應(yīng)用
第二部分 行列式
一 行列式的定義、性質(zhì)及應(yīng)用
二 行列式的計(jì)算
第三部分 矩陣初步
一 矩陣代數(shù)
二 矩陣的初等變換及應(yīng)用
三 方塊矩陣的初等變換及應(yīng)用
第四部分 線性空間
一 線性空間的定義
二 向量的線性關(guān)系
三 子空間與空間直和分解
第五部分 線性變換
一 線性映射
二 線性變換
三 同構(gòu)對(duì)應(yīng)及應(yīng)用
第六部分 線性方程組
一 齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示
二 非齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示
三 線性方程組的反問題和矩陣方程
第七部分 矩陣的秩
一 矩陣的秩的等價(jià)刻劃
二 關(guān)于矩陣秩的命題及應(yīng)用
第八部分 線性空間同構(gòu)
一 線性空間的同構(gòu)
二 三種重要的同構(gòu)
三 命題的互相轉(zhuǎn)化及應(yīng)用
 
第九部分 特征值與特征向量
一 矩陣的特征值與特征向量 特征多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式
二 線性變換的特征值與特征向量 特征多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式
三 可對(duì)角化的矩陣（線性變換）
第十部分 空間分解定理和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
一 空間分解定理
二 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
三 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法
四 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用舉例
第十一部分 歐氏空間
一 歐氏空間的正交向量
二 歐氏空間的子空間的正交補(bǔ)
三 n維歐氏空間的線性變換
第十二部分 二次型
一 二次型（對(duì)稱陣）的標(biāo)準(zhǔn)形
二 正定二次型（對(duì)稱陣）與二次型（對(duì)稱陣）的正定性
第十三部分 等價(jià)關(guān)系與矩陣標(biāo)準(zhǔn)型
一 等價(jià)關(guān)系與分類
二 矩陣中的幾種等價(jià)關(guān)系與矩陣標(biāo)準(zhǔn)型
 

福建師范大學(xué)

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