暨南大學(xué)810高等代數(shù)研究生考研大綱及參考書目 正文

暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科2022年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目
《高等代數(shù)》
考試大綱
本《高等代數(shù)》考試大綱適用于暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運籌學(xué)與控制輪）碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣理論、二次型理論、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
一、考試的基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試內(nèi)容
（一） 多項式
1． 一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項式函數(shù)的概念及判別；
2． 復(fù)根存在定理（代數(shù)基本定理）；
3． 根與系數(shù)關(guān)系；
4． 一些重要定理的證明，如多項式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質(zhì)，整系數(shù)多項式的因式分解定理等；
5． 運用多項式理論證明有關(guān)命題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質(zhì)有關(guān)的問題的證明與應(yīng)用；
6． 用多項式函數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論。
（二） 行列式
1．  -級排列、對換、 -級排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性；
2．  -階行列式的定義，基本性質(zhì)及常用計算方法（如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace展開法、Vandermonde行列式法）；
3． Vandermonde行列式；
4． 行列式的代數(shù)余子式。
（三） 線性方程組
1． 向量組線性相（無）關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有（無）非零解的相關(guān)向量判別法、行列式判別法；
2． 向量組的極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其三個推論， 向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算；
3． Cramer法則，線性方程組有（無）解的判別定理，齊次線性方程組有（無）非零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計算和性質(zhì)、通解的求法；
4． 非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理；
（四） 矩陣理論
1． 矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論，如有關(guān)矩陣秩的不等式；
2． 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關(guān)系和應(yīng)用；
3． 矩陣的逆和矩陣的等價標準形的概念及計算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì)；
4． 行列式乘積定理；
5． 矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì)；
6． 一些特殊矩陣的常用性質(zhì)，如，對角陣、三角陣、三對角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等；
7． 矩陣的跡、方陣的多項式；
8． 矩陣的常用分解，如等價分解、滿秩分解、實可逆矩陣的正交三角分解、約當(dāng)分解；
9． 應(yīng)用矩陣理論解決一些問題。
（五） 二次型理論
1． 二次型及其標準形、規(guī)范形的概念和計算，慣性定理及其應(yīng)用；
2． 實二次型或?qū)崒ΨQ矩陣正定、半正定、負定、半負定的概念及判定條件和應(yīng)用；
3． 實二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法。
（六） 線性空間；
1． 線性空間、子空間的定義及性質(zhì)；
2． 線性空間中一個向量組的秩及計算方法；
3． 線性（子）空間的基和維數(shù)與向量關(guān)于基的坐標，子空間的基擴充定理，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項式空間，函數(shù)空間；
4． 子空間的直和、維數(shù)公式；
5． 線性空間的同構(gòu)；
6． 向量組線性相關(guān)或無關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明；
（七） 線性變換   
1． 線性變換定義與運算及其矩陣表示；
2． 矩陣的特征多項式和最小多項式及其有關(guān)性質(zhì)；
3． 線性變換及其對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量的概念和計算；
4． 線性變換及其矩陣的線性無關(guān)特征向量的判別和最大個數(shù)及特征子空間；
5． 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；
6． 矩陣相似的概念及同一個線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系；
7． 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關(guān)系和計算；
8． 線性變換和矩陣可對角化的概念和條件；
9． Hamilton-Caylay定理。
（八） λ-矩陣
1．  λ-矩陣的初等變換、標準型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系；
2． 矩陣的Jordan標準形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。
（九） 歐氏空間
1． 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等；
2． 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì)；
3． 歐氏空間的標準正交基概念及其求法和性質(zhì)的證明與應(yīng)用；
4． 正交變換和正交矩陣的等價條件；
5． 對稱變換的概念及其簡單性質(zhì)；
6． 實對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對角矩陣的求法；
7． 線性無關(guān)向量組的施密特（Schmidt）正交化方法；
8． Gram行列式、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換、酉空間和酉變換；
9． 正交相似變換和酉相似變換；
10． 最小二乘法。
三、考試方法和考試時間
高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
四、 考試題型
填空題、單項選擇題、計算題、證明題。
五、主要參考書目
《高等代數(shù) 第五版》， 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組 編 ，高等教育出版社，2019

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