碩士研究生入學考試大綱

    考試科目名稱:泛函分析

    一、援引教材

    《泛函分析》第二版高等教育出版社江澤堅孫善利編

    二、考試要求

    要求考生全面系統(tǒng)地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能靈活運用，具備較強的分析問題與解決問題的能力。

    三、考試內(nèi)容

    （一）距離線性空間

    1．距離線性空間的定義，常見的距離線性空間的距離定義及其性質(zhì)。

    2．距離空間中的拓撲涵義，可分空間。

    3．Cauchy序列的性質(zhì)，距離空間的完備性。

    4．列緊集，完全有界集的定義及它們之間的關(guān)系。

    5．賦范線性空間定義；范數(shù)與距離的關(guān)系；有限維賦范線性空間的結(jié)構(gòu)。

    6．賦范線性空間上的線性算子及有界線性算子的定義、性質(zhì)與計算方法。

    7．常見空間以及等空間中距離與范數(shù)之間的定義及關(guān)系。掌握這些空間的可分性，完備性及拓撲性質(zhì)。

    8．壓縮映射定義，掌握壓縮映象原理，并能熟練的應用定理解決問題。了解壓縮映象原理在理論上的典型應用。

    （二）Hilbert空間

    1．內(nèi)積空間的定義，性質(zhì)；內(nèi)積與范數(shù)、距離之間的關(guān)系。

    2．賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件，常見賦范線性空間是否成為內(nèi)積空間的判別。

    3．掌握內(nèi)積空間的定義及其性質(zhì)。

    4．Hilbert空間的定義；Hilbert空間上的正規(guī)正交基，正規(guī)正交分解；

    5．掌握并熟練運用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。

    6．掌握可分Hilbert空間的結(jié)構(gòu)。

    7．掌握射影定理，理解其涵義，并能加以應用；掌握表現(xiàn)定理，Hilbert空間上的線性泛函的表示。

    8．Hilbert共軛算子的定義、性質(zhì)及其表示；可分Hilbert空間上有界線性算子的矩陣表達式。

    （三）Banach空間及Banach空間上的有界線性算子

    1.Banach空間上的有界線性算子定義；算子范數(shù)的計算；范數(shù)的比較。

    2.有界線性算子空間的性質(zhì)。

    3.算子的逆，逆算子存在、連續(xù)的條件；利用逆算子解決一些積分方程等方面的實際問題。

    4.Hahn-Banach定理；擴張定理的幾種表現(xiàn)形式，如Banach擴張定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。

    5.Hahn-Banach定理的一些推論，體現(xiàn)的不同側(cè)面的Hahn-Banach定理的具體表現(xiàn)形式；Hahn-Banach定理的幾何形式。Hahn-Banach定理在理論及實際上的應用。

    6.分離定理，及其與Hahn-Banach定理之間的關(guān)系。

    7.Baire綱定理；第一綱集、第二綱集的定義與分類。

    8.一致有界原理（共鳴定理）；開映射定理；Banach逆算子定理；閉圖形定理以及它們的應用。

    9.對偶空間的定義，幾個具體空間上的對偶空間及它們的連續(xù)泛函形式，如

    等。

    10.二次對偶、典型映射、自反空間的定義；有限維賦范線性空間、、Hilbert空間的自反性質(zhì)。了解常見的不是自反空間的例子。

    11.Banach共軛算子的定義、性質(zhì)及其矩陣表示。

    12.算子的值域、零空間、商空間的定義與它們之間的關(guān)系。

    （四）有界線性算子譜論

    1.有界線性算子的預解式與譜的定義及其計算。

    2.掌握譜半徑公式，應用公式解決問題。

    3.射影算子的定義；有界線性算子的不變子空間與約化子空間；F.Riesz空間分解定理。

    4.緊算子的定義及其性質(zhì)；緊算子的實例；緊算子與理想的關(guān)系。

    5.Riesz-Schauder理論：F.Riesz定理；兩擇一定理；Fredholm交替定理等定理內(nèi)容與應用。

    6.有界自伴算子的基本性質(zhì)；緊自伴算子的定義與性質(zhì)；酉算子的定義與性質(zhì)。

    7.有界自伴算子的譜測度，譜分解定理與函數(shù)演算。

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