中央民族大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試初試科目考試大綱 

科目代碼：843 科目名稱：高等代數(shù) 

Ⅰ.考查目標(biāo) 

高等代數(shù)考試主要目的是測試考生對高等代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解

決問題的能力。要求考生系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本

思想和解決問題方法，能夠運(yùn)用所學(xué)的基本知識(shí)、基本理論和方法來分析問題和解決問題。

Ⅱ. 考試形式和試卷結(jié)構(gòu)： 

一、試卷滿分及考試時(shí)間

試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘．

二、答題方式

閉卷、筆試．

三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

行列式 、線性方程組 、矩陣、 二次型部分內(nèi)容所占分值約 90 分

多項(xiàng)式 、線性空間 、線性變換、歐幾里得空間部分內(nèi)容所占分值約 60 分

四、試卷題型結(jié)構(gòu) 試卷題型結(jié)構(gòu)為

計(jì)算題 8 小題，共 96 分

證明題 6 小題，共 54 分

Ⅲ.考試范圍

一、多項(xiàng)式

1．多項(xiàng)式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項(xiàng)式；

2．不可約多項(xiàng)式、因式分解唯一性定理、重因式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、有

理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定；

3．多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法。

二、行列式

1．行列式的定義及性質(zhì)，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式；

2．行列式按一行、列的展開定理、Vandermonde 行列式、行列式的計(jì)算；

3．Cramer 法則。

三、線性方程組

1．Gauss 消元法與初等變換；

2．向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與極大線性無關(guān)組、矩陣的秩；

3．線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)。

四、矩陣

1．矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊及常用分塊方法；

2．矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價(jià)、矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式；

3．逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關(guān)系，伴隨矩陣及其性質(zhì)；

4．運(yùn)用初等變換法求向量組和矩陣的秩及逆矩陣。

五、二次型理論

1．二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形、慣性定理；

2．實(shí)二次型在非退化線性替換下的規(guī)范形以及在正交替換下的標(biāo)準(zhǔn)形的求法；

3．實(shí)二次型、實(shí)對稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的定義、判別法及其應(yīng)用。

六、線性空間

1．線性空間、子空間的定義與性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)性，子空間的基、維數(shù)、向量關(guān)于

基的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性空間的同構(gòu)；

2．子空間的基擴(kuò)張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式；

七、線性變換

1．線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個(gè)線性變換關(guān)

于不同基的矩陣之間的關(guān)系；

2．矩陣的特征多項(xiàng)式、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算、特征子空間、

實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)；

3．線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關(guān)系及計(jì)算；

4．Hamilton-Caylay 定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡。

八、歐氏空間

1．內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構(gòu)，

正交子空間與正交補(bǔ)；

2．歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、Schmidt 正交化方法；

3．正交變換與正交矩陣的等價(jià)條件，對稱變換的概念與性質(zhì)；

4．實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化的求法。

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