2021湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合研究生考試大綱 正文

2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱（復(fù)試）
 
復(fù)試科目名稱(chēng)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合
 
一、考核目標(biāo)
要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)概念、基本理論和基本方法。 要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
二、試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷成績(jī)及考試時(shí)間：滿(mǎn)分為100分，考試時(shí)間為120分鐘。
（二）答題方式：閉卷、筆試
（三）試卷內(nèi)容及比例：數(shù)學(xué)分析部分：占60%；高等代數(shù)部分：占40%
（四）題型結(jié)構(gòu)及分值：
1、單項(xiàng)選擇題，8小題，每小題3分，共24分；
2、填空題，6小題，每小題4分，共24分；
3、解答題與證明題，5小題，共52分。
三、考試內(nèi)容
（一）數(shù)學(xué)分析部分（占60%，60分）
1、函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算　極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用。
函數(shù)連續(xù)的概念，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其證明。
考試要求
（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。
（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。
（5）理解極限的概念。
（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。
（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
（8）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。
（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）。
（10）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并了解其證明。
2、一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線和法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理及其應(yīng)用，洛必達(dá)（L’Hospital）法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)的最大值與最小值　
考試要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程。
（2）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。
（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
（4）會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（5）理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解柯西(Cauchy)中值定理。
（6）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。
（7）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。
（8）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性
3、一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，定積分的應(yīng)用。
考試要求
（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。
（2）掌握不定積分的基本公式，不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，換元積分法與分部積分法。
（3）掌握牛頓-萊布尼茨公式，會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。
（4）理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)。
（5）了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分。
（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。
4、多元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。
考試要求
（1）理解多元函數(shù)的概念，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分。
（2）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
（3）了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。
（4）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
5、多元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，
考試要求
（1）理解二重積分與三重積分的概念及其性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。
（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。
（3）掌握三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)）。
6、無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域　冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。
考試要求
（1）理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。
（2）掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。
（3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法和柯西（Cauchy）積分判別法。
（4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。
（5）理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。
（6）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。
（7）掌握e^x，sinx，ln(1+x)，及(1+x) ^a的麥克勞林（Maclaurin）展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。
（二）高等代數(shù) （占40%，40分）
   1、多項(xiàng)式
考試內(nèi)容
數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。
考試要求
（1）掌握數(shù)域的定義，理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義，次數(shù)，一元多項(xiàng)式環(huán)等概念，掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。
（2）理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。
（3）理解和掌握兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。
（4）掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。
掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。
2、行列式
考試內(nèi)容
排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)，n階行列式的展開(kāi)，行列式的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則，行列式的乘法規(guī)則。
    考試要求
（1）掌握排列、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。
（2）掌握行列式的基本性質(zhì)，理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單行列式。
（3）理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開(kāi)的公式。
（4）掌握克拉默(Cramer)法則，
    3、線性方程組
考試內(nèi)容
消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
考試要求
（1）掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。
（2）掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。
（3）理解線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。理解向量組的極大無(wú)關(guān)組、秩的定義，并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。
（4）掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。
（5）掌握線性方程組的有解判別定理，掌握線性方程組的公式解。
（6）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對(duì)有解的一般線性方程組，會(huì)求其全部解。
4、矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。
考試要求
（1）掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。
（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
（3）掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。
（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。
（5）掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。
（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內(nèi)容
二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，正定（半正定）二次型。
考試要求
（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。
（2）理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。
（3）理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號(hào)差、慣性指數(shù)等概念，理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價(jià)條件。
   6、線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核。
考試要求
（1）掌握線性變換的定義及性質(zhì)，線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。
（2）掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。
（3）理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。
    7、歐幾里德空間
考試內(nèi)容
定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離。
考試要求
（1）理解歐氏空間的定義及性質(zhì)，內(nèi)積的本質(zhì)，掌握向量的長(zhǎng)度，兩個(gè)向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
（2）理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過(guò)程，并能把一組線性無(wú)關(guān)的向量化為單位正交的向量。
（3）理解正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，掌握正交變換與向量的長(zhǎng)度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。
（4）理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及有限維歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。
（5）掌握任一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，求正交陣的方法，能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
 
 
參考文獻(xiàn)
[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）[M]. 北京：高等教育出版社，2012.
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[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2013.
[4] 張禾瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

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