2021湖南理工學(xué)院近世代數(shù)研究生考試大綱 正文

2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱（加試）
 
加試科目名稱: 近世代數(shù)
一、考核目標(biāo)
（一）考查考生理解近世代數(shù)的基本概念和基本方法，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)與技巧，以便能深入理解中學(xué)代數(shù)的內(nèi)容和方法。
（二）考查考生抽象思維能力、邏輯推理能力，掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維方法，解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題。
二、試卷結(jié)構(gòu)
（一）考試時(shí)間：120分鐘，滿分：100分
（二）題型結(jié)構(gòu)
一、單項(xiàng)選擇題，20分；
二、填空題，30分；
三、解答題（包括證明題），50分。
三、 答題方式
答題方式為閉卷 筆試
四、考試內(nèi)容與考試要求
1．基本概念
考試內(nèi)容
單(滿)射的概念與刻畫，代數(shù)運(yùn)算的概念與算律，等價(jià)關(guān)系與集合分類的概念與相互關(guān)系.
考試要求
（1）理解單(滿)射的概念，掌握單(滿)射的刻畫．
（2）理解代數(shù)運(yùn)算的概念，了解代數(shù)運(yùn)算的算律.
（3）理解等價(jià)關(guān)系與集合分類的概念，了解它們的相互關(guān)系．
2. 群
考試內(nèi)容
半群，群，元素的階，循環(huán)群，變換群，置換群，子群，子群的陪集，正規(guī)子群，
商群，同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理．
考試要求
（1）理解半群，群的概念．掌握群的刻畫．
（2）理解元素階的概念．掌握元素階的性質(zhì)與刻畫．
（3）理解循環(huán)群的概念．掌握循環(huán)群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)．
（4）了解變換與變換群的概念．理解置換與置換群的概念．掌握置換的表示方法．會(huì)計(jì)算置換的乘法．理解 Cayley 定理．
（5）理解子群的概念．掌握子群的性質(zhì)與刻畫．
（6）理解子群的左（右）陪集的概念，性質(zhì)與刻畫．了解群的左（右）陪集分解．掌握 Lagrange 定理．
（7） 理解正規(guī)子群的概念．掌握正規(guī)子群的刻畫．理解正規(guī)子群與商群的關(guān)系．
（8）掌握同態(tài)基本定理．理解同構(gòu)定理．
3. 環(huán)與域
考試內(nèi)容
環(huán)的概念，子環(huán)，理想與商環(huán)，同態(tài)基本定理，同構(gòu)定理，素理想與極大理想，商域，多項(xiàng)式環(huán).
考試要求
（1）理解環(huán)的概念. 了解整環(huán)，除環(huán)，域，特征等概念.
（2）理解子環(huán)的概念. 了解子環(huán)的性質(zhì)與刻畫.
（3）理解理想與商環(huán)的概念. 掌握環(huán)的同態(tài)基本定理. 了解環(huán)的同構(gòu)定理.
（4）理解素理想與極大理想的概念. 理解素理想與極大理想的刻畫.
（5）理解商域的概念. 了解商域的性質(zhì).
（6）理解交換環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的概念與性質(zhì).
4. 整環(huán)里的因子分解
考試內(nèi)容
不可約元，素元，最大公因子，唯一分解環(huán)，主理想環(huán)、歐氏環(huán).
考試要求
（1）理解整環(huán)上不可約元，素元，最大公因子的概念，了解不可約元與素元的關(guān)系.
（2）理解唯一分解環(huán)的概念. 了解唯一分解環(huán)的性質(zhì)與刻畫.
（3）理解主理想環(huán)的概念. 了解主理想環(huán)的性質(zhì). 了解唯一分解環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系.
（4）理解歐氏環(huán)的概念. 了解歐氏環(huán)的性質(zhì). 了解主理想環(huán)與歐氏環(huán)的關(guān)系.
 
五、主要參考書目
[1] 張禾瑞遍，近世代數(shù)基礎(chǔ)，高等教育出版社，1997年修訂本.
[2] 朱平天，李伯葓，鄒園編，近世代數(shù)（第二版），科學(xué)出版社，2009.
 

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