2021湖南大學高等代數(shù)專業(yè)研究生考研考試大綱 正文

（一）多項式理論
一元多項式的整除性、帶余除法、最大公因式、互素多項式、不可約多項式、多項式的因式分解、重因式等基本概念及其性質(zhì)；多項式函數(shù)；多項式的根（重根）與它的一次因式（重因式）間的關(guān)系；多項式是否有重因式的判別法；  實、復系數(shù)多項式的不可約多項式的形式及標準分解式的形式；有理系數(shù)多項式的不可約判定及求整系數(shù)多項式的有理根等基本方法。
（二）行列式 
n級排列的逆序數(shù)、對換、奇偶性；n階行列式的定義、性質(zhì)；行列式的子式、代數(shù)余子式及展開定理；行列式的計算方法；克萊姆法則；Vandermonde行列式；
（三）線性方程組 
n維向量空間；n維向量組的線性相關(guān)性；n維向量組的秩、向量組的等價，矩陣的秩等基本概念及性質(zhì)；
Gauss消元法；線性方程組有解的判定定理；線性方程組解的結(jié)構(gòu)（括齊次線性方程組的基礎解系定義、求法）。 
（四）矩陣 
矩陣的運算及性質(zhì)；矩陣的秩；矩陣的初等變換與初等矩陣；矩陣在初等變換下的標準形；矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；行列式乘積定理；；分塊矩陣；分塊矩陣運算；矩陣和轉(zhuǎn)置、對角陣、三角陣、矩陣單位；矩陣的跡、方陣的多項式；
（五）二次型 
二次型的矩陣表示；二次型的標準形與合同變換；復數(shù)域與實數(shù)域上二次型的標準形、規(guī)范形；慣性定理；實二次型、實對稱矩陣正定的充分必要條件；
（六）線性空間 
線性空間的概念；一些重要的線性空間實例，基、維數(shù)與坐標；基變換與坐標變換；
（七）線性變換 
線性映射與線性變換的概念、運算；線性變換的矩陣表示；線性變換（矩陣）的特征多項式、特征值與特征向量；線性變換的值域與核；特征子空間;線性變換的不變子空間；線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件，線性變換及矩陣的最小多項式；
（八）λ-矩陣 
λ-矩陣在初等變換下的標準形、不變因子、行列式因子；矩陣相似的條件；數(shù)字矩陣或線性變換的不變因子、初等因子、Jordan標準形 。
（九）歐氏空間 
向量內(nèi)積；歐氏空間的概念及性質(zhì)，度量矩陣；向量的長度、夾角、正交、距離，柯西一布涅科夫斯基不等式；標準正交基；歐氏空間的子空間的正交補，歐氏空間的同構(gòu)；歐氏空間的正交變換與對稱變換，對稱變換與實對稱矩陣用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。
參考書目：《高等代數(shù)》，北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，高等教育出版社（第二版）

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