2022年遼寧師范大學(xué)601高等代數(shù)碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

601《高等代數(shù)》考試大綱
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內(nèi)容。
第一部分 一元多項(xiàng)式理論
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、一元多項(xiàng)式
2、整除性與最大公因式
3、因式分解
4、復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)、有理系數(shù)多項(xiàng)式
二、考核要求
（一）一元多項(xiàng)式
1、熟練掌握：一元多項(xiàng)式及相關(guān)概念。
2、深刻理解：多項(xiàng)式的運(yùn)算及與次數(shù)的關(guān)系。
3、簡單應(yīng)用：多項(xiàng)式的運(yùn)算。
（二）整除性與最大公因式
1、熟練掌握：（1）多項(xiàng)式和整除及相關(guān)概念。（2）最大公因式及相關(guān)概念。
2、深刻理解：（1）整除的性質(zhì)。（2）帶余除法。（3）輾轉(zhuǎn)除法。（4）最大公因式的性質(zhì)。（5）互素的性質(zhì)。
3、簡單應(yīng)用：（1）掌握帶余除法。（2）計(jì)算最大公因式。（3）使用整除性質(zhì)、最大公因式的性質(zhì)、互素的性質(zhì)處理多項(xiàng)式問題。
（三）因式分解
1、熟練掌握：（1）不可約多項(xiàng)式概念。（2）最小公倍式概念。（3）重因式、根、重根等概念。
2、深刻理解：（1）唯一分解定理。（2）不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)。（3）導(dǎo)數(shù)與重因式的關(guān)系。（4）次數(shù)與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系。
3、簡單應(yīng)用：利用因式分解理論處理多項(xiàng)式的相關(guān)問題。
（四）復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)、有理系數(shù)多項(xiàng)式
1、熟練掌握：（1）復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式及因式分解定理。（2）本原多項(xiàng)式。
2、深刻理解：（1）實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根特征。（2）本原多項(xiàng)式性質(zhì)。（3）有理系數(shù)多項(xiàng)與整系數(shù)多項(xiàng)式在可約性上的關(guān)系。（4）艾森斯坦因判別法。（5）綜合除法。（6）有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的判定。
3、簡單應(yīng)用：應(yīng)用復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)、有理系數(shù)多項(xiàng)式理論處理相關(guān)問題。
第二部分  行列式
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、映射與變換
2、置換的奇偶性
3、行列式
4、克拉默法則
二、考核要求
（一）映射與變換
1、熟練掌握：映射、變換及相關(guān)概念。
2、深刻理解：映射的合成及運(yùn)算律。
3、簡單應(yīng)用：判斷具體映射的可逆性。
（二）置換的奇偶性
1、熟練掌握：置換奇偶性概念。
2、深刻理解：置換的表示方法。
3、簡單應(yīng)用：置換的運(yùn)算、分解。
（三）行列式
1、熟練掌握：行列式的定義及相關(guān)概念。
2、深刻理解：行列式的性質(zhì)。
3、簡單應(yīng)用：行列式的計(jì)算。
4、理    解：行列式的幾何意義。
（四）克拉默法則
1、熟練掌握：克拉默法則內(nèi)容。
2、深刻理解：克拉默法則的思想與證明。
3、簡單應(yīng)用：利用克拉默法則解線性方程組。
第三部分  線性方程組與線性子空間
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、消元法
2、向量組的線性相關(guān)性
3、線性子空間
二、考核要求
（一）消元法
1、熟練掌握：（1）矩陣。（2）初等變換。（3）線性方程組的有關(guān)概念。
2、深刻理解：消元法的全過程。
3、簡單應(yīng)用：解線性方程組。
（二）向量組的線性相關(guān)性
1、熟練掌握：線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等基本概念。
2、深刻理解：線性相關(guān)性的相應(yīng)結(jié)論。
3、簡單應(yīng)用：判定向量組的線性相關(guān)性。
（三）線性子空間
1、熟練掌握：（1）線性子空間。（2）基與維數(shù)。
2、深刻理解：基對(duì)子空間的意義。
3、簡單應(yīng)用：（1）判定是否子空間。（2）確定基和維數(shù)。
第四部分  矩陣
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、向量組與矩陣的秩
2、線性映射及矩陣
3、矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
4、矩陣分塊
5、初等矩陣
二、考核要求
（一）向量組與矩陣的秩
1、熟練掌握：（1）向量組的線性表示、等價(jià)、極大無關(guān)組、秩等概念。（2）矩陣的行秩、列秩、子式、秩等概念。
2、深刻理解：（1）與向量組的秩相關(guān)的一些結(jié)論。（2）與矩陣的秩相關(guān)的一些結(jié)論。
3、簡單應(yīng)用：（1）求向量組的極大無關(guān)組。（2）求向量組和矩陣的秩。（3）利用矩陣的秩判斷線性方程組解的狀況。
（二）矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
1、熟練掌握：（1）退化、非退化、可逆、非可逆、伴隨等關(guān)于矩陣的概念。（2）可逆矩陣的求逆公式。（3）關(guān)系式：|AB|=|A||B|。
2、深刻理解：矩陣可逆與線性變換可逆性的關(guān)系。
3、簡單應(yīng)用：計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣。
（三）矩陣的分塊
1、熟練掌握：（1）矩陣分塊的概念。（2）分塊對(duì)角矩陣的概念。
2、深刻理解：矩陣運(yùn)算對(duì)分塊的要求。
3、簡單應(yīng)用：（1）對(duì)矩陣進(jìn)行分塊運(yùn)算。（2）分塊矩陣的運(yùn)算。
（四）初等矩陣
1、熟練掌握：初等方陣的定義。
2、深刻理解：初等矩陣與初等變換的關(guān)系。
3、簡單應(yīng)用：（1）化矩陣為正規(guī)形。（2）用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。
 
第五部分  線性空間與歐幾里得空間
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、線性空間
2、歐幾里得空間
二、考核要求
（一）線性空間
1、熟練掌握：（1）線性空間定義及性質(zhì)。（2）子空間的和與直和的定義。
（3）維數(shù)定理。（4）同構(gòu)。
2、深刻理解：（1）線性空間定義中的八條公理。（2）直和的判定條件。
（3）簡單應(yīng)用：判斷子空間的和是直和。
（二）歐幾里得空間
1、熟練掌握：（1）歐幾里得空間及其相關(guān)概念。（2）正交變換及正交矩陣的概念。
2、深刻理解：（1）施密特正交化方法。（2）正交變換的判定條件和性質(zhì)。（3）正交矩陣的判定條件和性質(zhì)。
3、簡單應(yīng)用：（1）把線性無關(guān)向量變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交向量組。（2）判斷線性變換的正交性。（3）判斷矩陣的正交性。（4）掌握歐氏空間中向量的度量性質(zhì)。
第六部分  線性變換
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、線性空間的基變換
2、線性變換的矩陣的化簡
二、考核要求
（一）線性空間的基變換
1、熟練掌握：過渡矩陣、相似矩陣的概念。
2、深刻理解：基變換對(duì)坐標(biāo)的影響和對(duì)線性變換矩陣的影響。
3、簡單應(yīng)用：（1）正確使用坐標(biāo)變換公式。（2）掌握線性變換的矩陣受基變換的影響。
（二）線性映射及矩陣
1、熟練掌握：（1）線性映射。（2）線性映射的運(yùn)算。（3）矩陣的運(yùn)算。
2、深刻理解：（1）線性映射及矩陣的運(yùn)算規(guī)律。（2）線性映射與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
3、簡單應(yīng)用：（1）線性映射的運(yùn)算和矩陣的運(yùn)算。（2）處理相關(guān)矩陣的某些問題。
（三）線性變換矩陣的化簡
1、熟練掌握：特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、不變子空間、特征子空間等概念。
2、深刻理解：線性變換的矩陣的化簡思想與方法。
3、簡單應(yīng)用：（1）判斷具體線性變換是否可以對(duì)角化。（2）處理有關(guān)特征值、特征向量、不變子空間的一些問題。
第七部分  二次型
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、二次型基本性質(zhì)
2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
3、正定二次型
二、考核要求
1、熟練掌握：二次型及相關(guān)概念。
2、深刻理解：二次型的化簡。
3、簡單應(yīng)用：（1）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。（2）判斷具體實(shí)二次型的正定性。
第八部分  多項(xiàng)式矩陣
一、考核知識(shí)點(diǎn)
1、多項(xiàng)式矩陣
2、若爾當(dāng)?shù)浞缎卫碚?br /> 二、考核要求
（一）多項(xiàng)式矩陣
1、熟練掌握：（1）多項(xiàng)式矩陣。（2）初等變換與初等多項(xiàng)式矩陣。（3）多項(xiàng)式矩陣的正規(guī)形。
2、深刻理解：初等多項(xiàng)式矩陣的意義。
3、簡單應(yīng)用：化多項(xiàng)式矩陣為正規(guī)形。
（二）若爾當(dāng)?shù)浞缎卫碚?br /> 1、熟練掌握：（1）行列式因子。（2）不變因子。（3）初等因子。
2、深刻理解：（1）行列式因子、不變因子、初等因子之間的關(guān)系。（2）矩陣相似的判定條件。
3、簡單應(yīng)用：化矩陣為若爾當(dāng)?shù)浞缎巍?br /> 參考書目：高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)小組編，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

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