2022年遼寧師范大學815數(shù)學分析碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

815《數(shù)學分析》考試大綱（學術(shù)型）
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內(nèi)容。
第一章  實數(shù)集與函數(shù)
一．考核知識點
1.實數(shù)集的性質(zhì)
2．確界定義和確界原理
3．函數(shù)的概念及表示法，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)
二．考核要求
(一) 實數(shù)集的性質(zhì)
1．熟練掌握：（1）實數(shù)及其性質(zhì)；（2）絕對值與不等式。
2．深刻理解：（1）實數(shù)有序性，大小關(guān)系的傳遞性，稠密性，阿基米德性，實數(shù)集對四則運算的封閉性以及實數(shù)集與數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系；（2）絕對值的定義及性質(zhì)。
3．簡單應用：（1）會比較實數(shù)的大小，能在數(shù)軸上表示不等式的解；（2）會利用絕對值的性質(zhì)證明簡單的不等式。
4．綜合應用：會利用實數(shù)的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)證明有關(guān)的不等式，會解簡單的不等式。
（二）確界定義和確界原理
1．熟練掌握：（1）區(qū)間與鄰域；（2）有界集、無界集與確界原理。
2．深刻理解：（1）區(qū)間與鄰域的定義及表示法；（2）確界的定義及確界原理。
3．簡單應用：會用區(qū)間表示不等式的解，會證明數(shù)集的的有界性，會求數(shù)集的上、下確界。
4．綜合應用：會用確界的定義證明某個實數(shù)是某數(shù)集的上確界（或下確界），
證明某數(shù)集無界。
（三）函數(shù)的概念
1．熟練掌握：（1）函數(shù)的定義；（2）函數(shù)的表示法；（3）函數(shù)的四則運算；（4）復合函數(shù)；（5）反函數(shù)；（6）初等函數(shù)。
2．深刻理解：（1）函數(shù)概念的兩大要素；（2）掌握整數(shù)部分函數(shù)，小數(shù)部分函數(shù)，符號函數(shù)，狄利克雷和黎曼函數(shù)；（3）函數(shù)能夠進行四則運算的條件；（4）復合函數(shù)中內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域的關(guān)系；（5）反函數(shù)存在的條件。
3．簡單應用：會求函數(shù)的定義域、值域，比較幾個函數(shù)的大小，會求分段函數(shù)和復合函數(shù)的表達式，能熟練地描繪六類基本初等函數(shù)的圖象。
4．綜合應用：能作簡單的復合函數(shù)的圖象，會求函數(shù)的反函數(shù)，證明有關(guān)的不等式，會建立簡單應用問題的函數(shù)關(guān)系。
（四）具有某些特性的函數(shù)
1．熟練掌握：（1）有界函數(shù)；（2）單調(diào)函數(shù)；（3）奇函數(shù)和偶函數(shù)；（4）周期函數(shù)。
2．深刻理解：（1）有界函數(shù)和無界函數(shù)的定義；（2）單調(diào)函數(shù)的定義及其圖象的性質(zhì)；（3）奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及其圖象的性質(zhì)；（4）周期函數(shù)的定義及其圖象的性質(zhì)。
3．簡單應用：（1）會求函數(shù)的上下界，會判斷函數(shù)無界；（2）會判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）會判斷周期函數(shù)及求周期；（4）會判斷函數(shù)的奇偶性。
4．綜合應用：能利用函數(shù)的各種特性解決簡單的應用問題。
第二章   數(shù)列極限
一．考核知識點
1．數(shù)列極限的定義
2．收斂數(shù)列的性質(zhì)
3．數(shù)列極限存在的條件
二．考核要求
(一) 數(shù)列極限的定義
1．熟練掌握：數(shù)列的斂散性概念，數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的幾何意義。
2．深刻理解：數(shù)列極限的“定義”的邏輯結(jié)構(gòu)，深刻理解的任意性，的相應性；用“定義”證明數(shù)列的極限的表述方法； “定義”的否定說法。
3．簡單應用：能夠通過觀察法初步判斷數(shù)列的斂散性。
4．綜合應用：會用“語言”證明數(shù)列的極限存在。
 (二) 收斂數(shù)列的性質(zhì)
1．熟練掌握：收斂數(shù)列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，數(shù)列極限的四則運算法則，數(shù)列子列的概念。
2．深刻理解：收斂數(shù)列諸性質(zhì)的證明。
3．簡單應用：運用收斂數(shù)列的四則運算法則計算數(shù)列的極限。
4．綜合應用：運用收斂數(shù)列諸性質(zhì)證明和判斷各種數(shù)列問題。
 (三) 數(shù)列極限存在的條件
1．熟練掌握：（1）單調(diào)有界原理；（2）柯西收斂準則。
2．深刻理解：單調(diào)有界原理和柯西收斂準則的實質(zhì)及其否定命題。
3．簡單應用：會用單調(diào)有界原理證明某些極限的存在性。
4．綜合應用：會用單調(diào)有界原理和柯西收斂準則證明某些極限問題，會用柯西收斂準則的否定命題證明數(shù)列發(fā)散。
第三章   函數(shù)極限
一．考核知識點
1．函數(shù)極限的定義
2．函數(shù)極限的性質(zhì)
3．函數(shù)極限存在的條件
4．兩個重要的極限
5．無窮小量與無窮大量
二．考核要求
(一) 函數(shù)極限的定義
1．熟練掌握：（1）時函數(shù)極限的定義；（2）時函數(shù)極限的定義。
2．深刻理解：
（1）的“” 定義的邏輯結(jié)構(gòu)，深刻理解的任意性，的相應性；用“” 定義證明函數(shù)極限的表述方法； “” 定義的否定說法。（2）的 “” 定義的邏輯結(jié)構(gòu)，深刻理解的任意性， δ的相應性；用“” 定義證明函數(shù)極限的表述方法； 單側(cè)極限和極限存在的充要條件；“” 定義的否定說法。
3．簡單應用：會用“的“” 定義和“的“” 定義證明簡單函數(shù)的極限。
4．綜合應用：會用函數(shù)極限等分析語言證明一般的函數(shù)極限問題；用極限存在的充要條件證明極限不存在。
（二）函數(shù)極限的性質(zhì)
1．熟練掌握：函數(shù)極限的唯一性、函數(shù)的局部有界性、局部保號性、保不等式性，函數(shù)極限的迫斂性和函數(shù)極限的四則運算法則。
2．深刻理解：函數(shù)極限諸性質(zhì)的證明。
3．簡單應用：運用函數(shù)極限的四則運算法則計算函數(shù)的極限。
4．綜合應用：運用函數(shù)極限的唯一性，局部有界性、局部保號性，函數(shù)極限的迫斂性等證明函數(shù)的各種性質(zhì)。
(三) 函數(shù)極限存在的條件
1．熟練掌握：（1）歸結(jié)原則；（2）柯西收斂準則。
2．深刻理解：歸結(jié)原則和柯西收斂準則的實質(zhì)。
3．簡單應用：會用歸結(jié)原則證明函數(shù)的極限不存在，用柯西收斂準則證明函數(shù)極限存在。
4．綜合應用：用柯西收斂準則的否定命題證明函數(shù)極限不存在。
(四) 兩個重要的極限 
1．熟練掌握：。
2．深刻理解：兩個重要極限的證明。
3．簡單應用：利用兩個重要極限求極限的方法。
4．綜合應用：綜合用利用歸結(jié)原則和兩個重要極限求極限的方法。
(五) 無窮小量與無窮大量
1．熟練掌握：無窮小量，無窮大量的概念。
2．深刻理解：無窮小量和無窮大量的性質(zhì)和關(guān)系，無窮小量階的比較。
3．簡單應用：無窮小量階的比較方法，用無窮小量和無窮大量求極限。
4．綜合應用：會用等價無窮小求極限，會求曲線的漸近線。
第四章  函數(shù)的連續(xù)性
一．考核知識點
1．連續(xù)性概念
2．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
3．初等函數(shù)的連續(xù)性
二．考核要求
(一) 連續(xù)性概念
1．熟練掌握：函數(shù)在一點的連續(xù)性，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，間斷點及其分類。
2．深刻理解：函數(shù)在一點左、右連續(xù)的概念，函數(shù)在一點的連續(xù)的充要條件。
3．簡單應用：用定義證明函數(shù)在一點連續(xù)。
4．綜合應用：利用函數(shù)在一點的連續(xù)的充要條件證明函數(shù)在一點連續(xù)。
(二) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1．熟練掌握：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，反函數(shù)的連續(xù)性，復合函數(shù)的連續(xù)性。
2．深刻理解：一致連續(xù)性。
3．簡單應用：用連續(xù)函數(shù)求極限。
4．綜合應用：會證明函數(shù)的一致連續(xù)性和非一致連續(xù)性，能利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)論證某些問題。
(三) 初等函數(shù)的連續(xù)性
1．熟練掌握：基本初等函數(shù)的連續(xù)性。
2．深刻理解：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。
3．簡單應用：證明基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，判斷初等函數(shù)間斷點的類型。
4．綜合應用：證明一般初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，判斷分段函數(shù)間斷點的類型。
第五章  導數(shù)與微分
一．考核知識點
1．導數(shù)的概念
2．求導法則
3．參變量函數(shù)的導數(shù)
4．高階導數(shù)
5．微分
二．考核要求
(一) 導數(shù)的概念
1．熟練掌握：導數(shù)的定義，導函數(shù)。
2．深刻理解：函數(shù)在一點的變化率，左、右導數(shù)，導數(shù)的幾何意義，導函數(shù)的介值性，函數(shù)可導與連續(xù)的關(guān)系。
3．簡單應用：會求函數(shù)的平均變化率，會求曲線切線和法線方程。
4．綜合應用：會求分段函數(shù)的導數(shù)，能運用導數(shù)概念證明曲線的某些幾何性質(zhì)。
（二）求導法則
1．熟練掌握：導數(shù)的四則運算，反函數(shù)的導數(shù)，復合導數(shù)的導數(shù)，基本求導法則與公式。
2．深刻理解：導數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導數(shù)、復合導數(shù)的導數(shù)、基本求導法則與公式的證明。
3．簡單應用：會用各種求導法則計算初等函數(shù)的導數(shù)。
4．綜合應用：能綜合運用各種求導法則計算函數(shù)的導數(shù)。
(三)參變量函數(shù)的導數(shù)
1．熟練掌握：參變量函數(shù)的導數(shù)的定義。
2．深刻理解：參變量函數(shù)的導數(shù)的幾何意義。
3．簡單應用：會求參變量函數(shù)所確定函數(shù)的導數(shù)。
4．綜合應用：能利用參變量函數(shù)的導數(shù)證明曲線的某些幾何性質(zhì)。
(四)高階導數(shù)
1．熟練掌握：高階導數(shù)的定義。
2．深刻理解：高階導函數(shù)的概念。
3．簡單應用：會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。
4．綜合應用：能利用萊布尼茨公式計算高階導數(shù)，計算參變量函數(shù)的高階導數(shù)。
(五)微分
1．熟練掌握：微分概念。
2．深刻理解：微分的幾何意義，導數(shù)與微分的關(guān)系，一階微分形式的不變性。
3．簡單應用：會計算函數(shù)的微分。
4．綜合應用：會計算函數(shù)的高階微分及微分在近似計算中的應用。
第六章 微分中值定理及其應用
一．考核知識點
1．拉格朗日定理和函數(shù)單調(diào)性
2．柯西中值定理和不定式極限
3．泰勒公式
4．函數(shù)的極值與最大值、最小值
5．函數(shù)的凸性與拐點
6. 函數(shù)圖象的討論
二．考核要求
(一) 拉格朗日定理和函數(shù)單調(diào)性
1．熟練掌握：羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，函數(shù)單調(diào)性。
2．深刻理解：羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論、證明方法，它們的幾何意義。
3．簡單應用：判斷函數(shù)是否滿足羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會求簡單函數(shù)的中值點。
4．綜合應用：用拉格朗日中值定理證明函數(shù)的單調(diào)性，利用拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性，證明某些恒等式和不等式。
(二)柯西中值定理和不定式極限
1．熟練掌握：柯西中值定理, 不定式的極限。
2．深刻理解：柯西中值定理的證明方法，求不定式極限的方法。
3．簡單應用：會求7種不定式的極限。
4．綜合應用：能用柯西中值定理證明某些帶中值的等式。
(三)泰勒公式
1．熟練掌握：泰勒定理，泰勒公式，麥克勞林公式。
2．深刻理解：泰勒定理的實質(zhì)，泰勒公式與拉格朗日中值定理的關(guān)系。
3．簡單應用：利用泰勒定理展開六種函數(shù)的麥克勞林公式，余項估計。
4．綜合應用：利用泰勒公式和等價無窮小變換計算極限，泰勒公式在近似計算上的應用。
(四)函數(shù)的極值與最大〔小〕值
1．熟練掌握：函數(shù)的極值與最大〔小〕值，取極值的必要條件，駐點。
2．深刻理解：判斷極值的兩個充分條件。
3．簡單應用：會求函數(shù)極值與最大〔小〕值。
4．綜合應用：證明某些不等式，解決求最大〔小〕值的應用問題。
(五)函數(shù)的凸性與拐點，函數(shù)圖象的討論
1．熟練掌握：函數(shù)圖象的凸性與拐點，函數(shù)圖象的性態(tài)。
2．深刻理解：凸函數(shù)，函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件，曲線的漸近線。
3．簡單應用：會判斷函數(shù)圖象的凸性與拐點，會求曲線的漸近線，能描繪簡單函數(shù)的圖象。
4．綜合應用：能利用函數(shù)的凸性證明不等式。
第七章  實數(shù)的完備性
一．考核知識點
1. 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理
2．上極限和下極限
二．考核要求
(一)關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理
1．熟練掌握：實數(shù)集完備性的意義，實數(shù)集完備性的幾個基本定理。
2．深刻理解：確界原理、柯西收斂準則、區(qū)間套定理、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理的條件和結(jié)論，它們的證明方法，理解有理數(shù)集不滿足完備性定理的原因。
3．簡單應用：會求數(shù)集的聚點、確界。能應用區(qū)間套定理解決簡單的證明問題。
4．綜合應用：能完成實數(shù)集完備性的幾個基本定理的等價性證明。
(二)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 
1．熟練掌握：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致連續(xù)性。
2．深刻理解：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明思路和方法。
第八章  不定積分
一．考核知識點
1．不定積分概念與基本積分公式
2．換元積分法與分部積分法
3．有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分
二．考核要求
(一)不定積分概念與基本積分公式
1．熟練掌握：原函數(shù)、不定積分及二者的區(qū)別，基本積分表。
2．深刻理解：原函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系，不定積分的基本性質(zhì)，不定積分的幾何意義。
3．簡單應用：會求簡單初等函數(shù)的不定積分。
4．綜合應用：根據(jù)不定積分的幾何意義求曲線方程。
(二)換元積分法與分部積分法
1．熟練掌握：換元積分法，分部積分法。
2．深刻理解：換元積分法與復合函數(shù)求導法則的關(guān)系，分部積分法與乘積求導法的關(guān)系。
3．簡單應用：會用換元積分法與分部積分法計算簡單函數(shù)的不定積分。
4．綜合應用：能綜合運用換元積分法與分部積分法計算某些函數(shù)的不定積分，證明某些遞推公式。
(三)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分
1．熟練掌握：有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和某些無理函數(shù)的不定積分。
2．深刻理解：以上各種不定積分的計算步驟。
3．應用：會計算有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和某些無理函數(shù)的不定積分。
第九章  定積分
一．考核知識點
1．定積分概念和性質(zhì)
2．可積條件
3．微積分學基本定理·定積分的計算 
二．考核要求
(一)定積分概念和性質(zhì)
1．熟練掌握：定積分的實際背景，黎曼積分和，定積分的性質(zhì)。
2．深刻理解：構(gòu)造積分和的方法，定積分及其性質(zhì)的幾何意義。
3．簡單應用：會用定積分定義計算簡單函數(shù)的定積分，能利用定積分的性質(zhì)比較積分的大小，估計積分值。
4．綜合應用：會用定積分定義計算某些復雜和式的極限，利用定積分的性質(zhì)證明不等式，論證函數(shù)的某些性質(zhì)。
(二) 可積條件
1．熟練掌握：可積的必要條件和充分條件，可積函數(shù)類。
2．深刻理解：達布和，可積準則及其證明方法。
3．簡單應用：能判斷函數(shù)的可積性。
4．綜合應用：能論證可積函數(shù)的某些性質(zhì)。
 (三)微積分學基本定理和定積分的計算
1．熟練掌握：變上限定積分所確定的函數(shù)及其性質(zhì)，微積分學基本定理。
2．深刻理解：微積分學基本定理的實質(zhì)，原函數(shù)的存在性。
3．簡單應用：會用牛頓—萊布尼茨公式計算定積分，會用換元積分法與分部積分法計算定積分。
4．綜合應用：能綜合運用各種方法計算定積分。
第十章  定積分的應用
一．考核知識點：平面圖形的面積,由平行截面面積求體積,平面曲線的弧長與曲率,旋轉(zhuǎn)曲面的面積,定積分在物理中的某些應用
二．考核要求
1．熟練掌握： 用定積分表達和計算一些幾何量和物理量。
2．深刻理解：定積分的應用的實質(zhì)—微元法。
3．應用：會計算平面圖形的面積,會由平行截面面積求體積,會求平面曲線的弧長與曲率,旋轉(zhuǎn)曲面的面積,液體靜壓力、引力、功與平均功率。
第十一章   反常積分
一．考核知識點
1．反常積分概念
2．無窮積分的性質(zhì)與收斂判別
3．瑕積分的性質(zhì)與收斂判別
二．考核要求
(一)反常積分概念
1．熟練掌握：兩類反常積分的定義。
2．深刻理解：反常積分即變限定積分的極限。
(二)無窮積分的性質(zhì)與收斂判別
1．熟練掌握：無窮積分的性質(zhì)，條件收斂，絕對收斂。
2．深刻理解：比較判別法，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。
3．簡單應用：會計算無窮積分，判別無窮積分的收斂性。
4．綜合應用：會運用無窮積分的性質(zhì)和判別法論證某些問題。
(三)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別
1．熟練掌握：瑕積分的性質(zhì)，條件收斂，絕對收斂。
2．深刻理解：比較判別法。
3．簡單應用：會計算瑕積分，判別瑕積分的收斂性。
4．綜合應用：會能運用瑕積分的性質(zhì)和判別法論證某些問題。
第十二章   數(shù)項級數(shù)
一．考核知識點
1．級數(shù)的收斂性
2．正項級數(shù)和一般項級數(shù)
二．考核要求
(一)級數(shù)的收斂性
1．熟練掌握：數(shù)項級數(shù)的定義。
2．深刻理解：級數(shù)收斂、發(fā)散的概念,收斂級數(shù)的性質(zhì)，級數(shù)收斂的柯西準則。
3．簡單應用：會判斷級數(shù)的收斂和發(fā)散。
4．綜合應用：能應用柯西準則討論級數(shù)的斂散性。
(二) 正項級數(shù)
1．熟練掌握：正項級數(shù)收斂的必要條件，正項級數(shù)的比較原則。
2．深刻理解：正項級數(shù)收斂比式判別法，根式判別法和積分判別法。
3．簡單應用：會判別正項級數(shù)的收斂性。
4．綜合應用：能運用正項級數(shù)收斂的必要條件，比較原則和幾個判別法等論證一些問題。
（三）一般項級數(shù)
1．熟練掌握：交錯級數(shù)的概念，條件收斂與絕對收斂的概念及關(guān)系，萊布尼茨判別法。
2．深刻理解：絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。
3．簡單應用：會判別一般項級數(shù)的收斂性。
4．綜合應用：能進行絕對收斂級數(shù)的運算及重排。
第十三章  函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
一．考核知識點
1．一致收斂性
2．一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)
二．考核要求
(一)一致收斂性
1．熟練掌握：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的定義，一致收斂的充要條件。
2．深刻理解：一致收斂定義的否定敘述，一致收斂的柯西準則，函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別法
3．應用：會用一致收斂性的定義或判別法判別函數(shù)列的一致收斂性，用優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法判別一些函數(shù)級數(shù)的一致收斂性。
 (二)一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)
1．熟練掌握：一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。
2．深刻理解：連續(xù)性，可積性，可微性定理。
3．簡單應用：會由定理討論函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性。
4．綜合應用：會由定理證明和函數(shù)的分析性質(zhì)，計算函數(shù)項級數(shù)的積分。
第十四章  冪級數(shù)
一．考核知識點
1．冪級數(shù)
2．函數(shù)的冪級數(shù)展開式
二．考核要求
(一)冪級數(shù)
1．熟練掌握：冪級數(shù)的定義。
2．深刻理解：冪級數(shù)的性質(zhì)。
3．應用：冪級數(shù)的計算，求冪級數(shù)的收斂半徑。
(二)函數(shù)的冪級數(shù)展開式
1．熟練掌握：泰勒級數(shù)定義。
2．深刻理解：泰勒級數(shù)和馬克勞林級數(shù)。
3．應用：能利用六個常用的初等函數(shù)的馬克勞林級數(shù)展開式，把一些簡單的函數(shù)展成泰勒級數(shù)或馬克勞林級數(shù)。
第十五章    傅立葉級數(shù)
一．考核知識點
1．傅立葉級數(shù)
2．以2L為周期的函數(shù)的展開式
二．考核要求
(一)傅立葉級數(shù)
1．熟練掌握：傅立葉級數(shù)的性質(zhì)。
2．深刻理解：以2L為周期函數(shù)的的傅立葉級數(shù)的性質(zhì)。
3．應用：能利用傅立葉級數(shù)收斂定理把函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。
(二) 以2L為周期的函數(shù)的展開式和收斂定理的證明
1．熟練掌握：正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)。
2．深刻理解：2L為周期的函數(shù)的性質(zhì)。收斂定理及證明。
3．應用：會求以2L為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的展開式。
第十六章   多元函數(shù)的極限與連續(xù)
一．考核知識點
1．平面點集與多元函數(shù)
2．二元函數(shù)的極限和連續(xù)性
二．考核要求
(一)平面點集與多元函數(shù)
1．熟練掌握：二元函數(shù)和二元函數(shù)極限的定義。弄清二重極限與累次極限的區(qū)別極其聯(lián)系。
2．深刻理解：平面點集的一些概念：鄰域、內(nèi)點、界點、聚點、開區(qū)域、閉區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域等完備性定理。
3．簡單應用： 會求函數(shù)的定義域，畫定義域的圖形，并會說明是何種點集。
4．綜合應用：會求平面點集的聚點與界點。
(二)二元函數(shù)的極限和連續(xù)性
1．熟練掌握：二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念。
2．深刻理解：累次極限和二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
3．簡單應用：會求累次極限和二重極限。
4．綜合應用：會求函數(shù)的極限，會討論函數(shù)的連續(xù)性。
第十七章   多元函數(shù)微分學
一．考核知識點
1．可微性
2．復合函數(shù)微分法
3．方向?qū)?shù)與梯度及泰勒公式與極值問題
二．考核要求
(一)可微性
1．熟練掌握：可微與全微分定義?？晌⑿詭缀我饬x及應用。
2．深刻理解：可微性條件。
3．應用:會求函數(shù)的偏導數(shù)與全微分。
(二) 復合函數(shù)微分法 
1．熟練掌握：復合函數(shù)的有關(guān)定義。
2．深刻理解：復合函數(shù)的求導法則與復合函數(shù)的全微分。
3．應用：會求復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分。
（三）方向?qū)?shù)與梯度及泰勒公式與極值問題
1．熟練掌握：方向?qū)?shù)與梯度的定義。
2．深刻理解：中值定理和極值充分條件。
3．簡單應用：會計算方向?qū)?shù)與梯度和高階偏導數(shù)。
4．綜合應用：能運用泰勒公式解決極值問題。
第十八章  隱函數(shù)定理及其應用
一．考核知識點
1．隱函數(shù)及隱函數(shù)組
2．幾何應用和條件極值
二．考核要求
(一)隱函數(shù)及隱函數(shù)組
1．熟練掌握：隱函數(shù)及隱函數(shù)組的概念，反函數(shù)組與坐標變換。
2．深刻理解：隱函數(shù)定理和隱函數(shù)組的定理。
3．簡單應用：會求隱函數(shù)及隱函數(shù)組的偏導數(shù)與全微分。
(二) 幾何應用和條件極值
1．熟練掌握：平面曲線、空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。
2．深刻理解：條件極值。
3．簡單應用：會求平面曲線、空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。
4．綜合應用： 能應用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條件極值。
第十九章   含參量積分
一．考核知識點
1．含參量正常積分
2．含參量反常積分與歐拉積分
二．考核要求
(一)含參量正常積分
1．熟練掌握：含參量積分的定義。
2．深刻理解：含參量積分的連續(xù)性、可微性、可積性。
3．應用：能利用先微后積或先積后微方法求解函數(shù)的積分問題。
(二)含參量反常積分與歐拉積分
1．熟練掌握：歐拉積分的定義。
2．深刻理解：含參量反常積分的性質(zhì)。Γ函數(shù)與Β函數(shù)。
3．應用：能證明一致收斂性，會計算Γ函數(shù)與Β函數(shù)。
第二十章   曲線積分
一．考核知識點
1．第一型曲線積分
2．第二型曲線積分
二．考核要求
(一)第一型曲線積分
1．熟練掌握：第一型曲線積分的定義。
2．深刻理解：第一型曲線積分的性質(zhì)。
3．應用：會計算第一型曲線積分。
 (二)第二型曲線積分
1．熟練掌握：第二型曲線積分的定義。
2．深刻理解：第二型曲線積分的性質(zhì)，第二型曲線積分與第一型曲線積分的關(guān)系。
3．應用：會計算第二型曲線積分。
第二十一章  重積分
 一．考核知識點
1．二重積分的概念及直角坐標系下二重積分的計算
2．格林公式•曲線積分與路線的無關(guān)性
3．二重積分的變量變換與三重積分
4．重積分的應用
二．考核要求
(一) 二重積分的概念及直角坐標系下二重積分的計算
1．熟練掌握：二重積分的概念極其存在性，平面圖形的存在性。
2．深刻理解：二重積分的性質(zhì)。二元函數(shù)的可積性定理。
3．應用：會計算直角坐標系下的二重積分及平面圖形所圍的區(qū)域的面積。
(二) 格林公式•曲線積分與路線的無關(guān)性
1．熟練掌握：連通區(qū)域的概念。
2．深刻理解：格林公式，積分與路線的無關(guān)性定理。
3．簡單應用：能驗證積分與路線無關(guān)并會求積分。
4．綜合應用：能應用格林公式計算曲線積分。
(三) 二重積分的變量變換與三重積分
1．熟練掌握： 三重積分的概念。
2．深刻理解：二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)，二重積分的變量變換公式與化三重積分為累次積分。
3．簡單應用：會用極坐標計算二重積分，會三重積分換元法。
4．綜合應用：能對積分進行極坐標變換并計算二重積分。計算三重積分及累次積分。
第二十二章  曲面積分
一．考核知識點
1．第一型曲面積分和第二型曲面積分
2．高斯公式與托克斯公式與場論初步
二．考核要求
(一)第一型曲面積分和第二型曲面積分
1．熟練掌握：第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義及二者之間的關(guān)系。
2．深刻理解：第一型曲面積分和第二型曲面積分的物理背景。
3．簡單應用：會第一型曲面積分和第二型曲面積分的計算。
4．綜合應用：會用第一型曲面積分求重心、轉(zhuǎn)動慣量。計算第二型曲面積分。
(二) 高斯公式與托克斯公式與場論初步
1．熟練掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意義。場的概念。
2．深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其證明過程，梯度場、散度場、旋度場。
3．簡單應用：會用高斯公式和斯托克斯公式計算曲面積分。
4．綜合應用：會求全微分的原函數(shù)。
參考書目：數(shù)學分析，華東師范大學數(shù)學科學學院編，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

遼寧師范大學

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